La medida de la Latitud y la Longitud

Hola a todos,

Después de dos meses sin actualizar el blog os traigo una nueva entrada sobre un tema clave de la Ingeniería Cartográfica que es importante para entender la navegación moderna: como se calcula la latitud y la longitud.

Líneas de paralelos y meridianos en un mapa con la proyección Mercator.

Está claro que el canevás de meridianos y paralelos que vemos en los mapas nos sirven para poder situarnos sobre cualquier punto de la superficie terrestre. En un paseo por el campo con nuestro mapa topográfico es fácil identificar uno o dos elementos del entorno en el que nos encontremos y, con ello, saber nuestra posición. No obstante, ¿qué sucede si nos encontramos en navegando en mitad del océano o de un desierto y deseamos saber nuestra posición sin tener referencias terrestres claras?

Determinación de la latitud

La determinación de la latitud era algo ya sabido en la antigüedad, pues conforme nos movemos hacia el Norte o hacia el Sur cambian las estrellas que vemos y su altura sobre el horizonte.

Latitud: gráfico esquemático. Fuente: Enciclopedia Libre Universal en Español

De ahí que el primer procedimiento para obtener la latitud fuese medir la altura de la estrella Polar sobre el horizonte. Al principio estas mediciones se realizaban a simple vista aunque más tarde llegarían instrumentos (como el cuadrante) que permitían obtener numéricamente estas alturas. No obstante, la posición de la Estrella Polar no coincide con la del Polo Norte Celeste, motivo por el que se creó el Regimiento del Norte, el cual pretende corregir la altura observada en esta estrella. Para ello, basta con conocer el rumbo o posición en la que se encuentra la estrella Kochab (conocida como la guardia delantera en la constelación de la Osa Menor) con respecto a la Polar en el firmamento.

Constelación de la Osa Menor, a la cual pertenecen la Estrella Polar y Kochab. (Fuente: http://www.flickr.com)

Este Regimiento del Norte solamente era válido en el hemisferio norte, pues cuando se cruza la línea del ecuador la Estrella Polar desaparece en el horizonte. Entonces, cuando los navegantes cruzaron a finales del siglo XV hacia el hemisferio sur tuvieron que buscar un nuevo cuerpo celeste que les permitiera realizar los mismos cálculos que en el hemisferio norte.

La respuesta fue el uso de la Cruz del Sur (en latín Crux), una constelación no muy próxima al Polo pero cuya disposición facilita los cálculos astronómicos. Para conocer la latitud, primero se debía determinar a simple vista la alineación norte-sur de las estrellas Alfa y Gamma (α y γ ) Crucis y este-oeste de Beta y Delta (β y δ ) Crucis, lo que viene a ser una cruz horizontal en el firmamento, y, en ese momento, medir la altura sobre el horizonte de Alfa Crucis. Como esta estrella se encuentra a 30′ de distancia polar con respecto al Polo, solamente hay que sumar esta distancia a la altura medida de Alfa Crucis.

Cruz del Sur marcado en un recuadro amarillo (Fuente: WikiMedia)

Además de la Estrella Polar y la Cruz del Sur, podía usarse cualquier otra estrella a su paso por el meridiano local sabiendo su distancia polar. Este instante se podía calcular por medio de la alineación con otras estrellas, aunque en la práctica eran más usadas las dos estrellas anteriores por su facilidad.

Por último, y no menos importante, se podía usar el Sol para determinar la latitud. Para ello debía medirse la altura del astro sobre el horizonte al mediodía. El hecho de que la altura del Sol variase no solamente por la latitud, sino a lo largo del año (en invierno la altura del Sol es menor que en Verano), hizo necesario el uso de tablas.

Para aquellos de vosotros que estéis interesados, en el siguiente enlace puede encontrarse toda la formulación necesaria para el cálculo de la latitud.

Determinación de la longitud

A diferencia de la latitud, la longitud fue, durante siglos, un auténtico quebradero de cabeza para los navegantes, cartógrafos y matemáticos. Muchos lo consideraban un límite impuesto por Dios al conocimiento humano.

Este problema llegó a ser tan grave que los monarcas de Inglaterra, Francia, Portugal y España llegaron a ofrecer sustanciosas recompensas a quien pudiese resolver el método para la obtención de longitudes geográficas.

Felipe III, rey de España (1598-1621), ofreció una recompensa de 6000 ducados de renta perpetua, 2000 de renta vitalicia y otros 1000 de costas a quien resolviese el problema de la longitud (Fuente: Wikimedia)

El procedimiento matemático para calcular la longitud era observar un acontecimiento cósmico que pudiese verse desde distintos puntos de la Tierra. Sabiendo la hora a la que sucedía el acontecimiento en el punto de referencia era posible conocer la diferencia horaria entre este punto y el punto del que deseamos conocer la longitud. Sabiendo que 24 horas son 360º es fácil hacer la conversión a diferencia de longitud. A continuación, enumeraré cuáles fueron los métodos empleados para (tratar de) obtener la longitud hasta que finalmente se obtuvo el adecuado.

  • El primer fenómeno que se utilizó fue el de los eclipses lunares, el cual, gracias al anuario astronómico, que marcaba a que hora se produciría en otro lugar de longitud conocida, permitía realizar este cálculo. El principal problema es que no se producen eclispses lunares todos los días (ni todos los años) por lo que este método en navegación era bastante inútil.

Colón usó el método del eclipse lunar para conocer la longitud geográfica de los territorios descubiertos (Fuente: WikiMedia)

  • Otro procedimiento que se propuso fue usar el movimiento de la Luna sobre el fondo de las estrellas fijas. Sabiendo la hora a la que la Luna ocultaba ciertas estrellas en el meridiano de referencia es posible, sabiendo la hora a la que sucede esta ocultación en el punto en el que queremos saber la longitud, saber la diferencia de horas como en el método anterior. El principal problema es que el movimiento lunar es muy complicado y no responde solamente a la acción gravitatoria terrestre, sino también a la solar.
  • Galileo Galilei propuso medir la longitud geográfica a partir de las observaciones de los eclipses en las lunas de Júpiter. Para ello, elaboró unas tablas que indicaban el día y la hora de desaparición de cada luna en el meridiano de referencia, con lo cual, al observar este fenómeno en otro punto de la Tierra a otra hora, era posible saber la diferencia horaria entre estos dos puntos (y, por tanto, convertirlo a diferencia de longitudes). Este método funcionó solamente para tierra firme, donde tuvo una gran aceptación entre topógrafos y cartógrafos de los reinos europeos, ya que en alta mar era imposible realizar estas observaciones.

Galileo Galileo propuso usar los eclipses de las lunas de Júpiter para obtener la longitud de un punto en la Tierra (Fuente: WikiMedia)

  • Finalmente, en el siglo XVIII los avances científicos (Ley de Gravitación de Newton…) y técnicos (introducción de los anteojos en los instrumentos…) permitían realizar observaciones astronómicas de mayor precisión. Ello dio pie al conocido como método de las distancias lunares como método para la obtención de la longitud. En este procedimiento debían observarse, simultáneamente, el ángulo entre la Luna y un astro de referencia (el Sol u otra estrella) y la altura de ambos sobre el horizonte. Tras corregir las mediciones, debía obtenerse la Distancia Lunar Geocéntrica que, tras mirar en las tablas, daba la hora en el meridiano de referencia. Como puede observarse en el siguiente enlace, el principal problema era que debía resolverse una complicada ecuación trigonométrica (recordemos que las calculadoras son un invento del último siglo) y que los marineros no tenían suficiente formación matemática.

La solución al problema vino de la mano del maestro relojero John Harrison, en el mismo siglo XVIII, el cual inventó un cronómetro capaz de funcionar correctamente a bordo de un barco. Recordemos que los relojes de péndulo, muy comunes en la época, tienen problema de que a bordo de un barco se atrasan, se adelantan o se paran, eso sin contar que pueden estropearse por problemas ambientales de un barco (salinidad, cambios de temperatura, cambios de presión…).

John Harrison, maestro relojero que resolvió, finalmente, el problema del cálculo de la longitud (Fuente: WikiMedia)

Harrison inventó un cronómetro que podía resistir todo este castigo a bordo de un barco. De este modo que, para saber la longitud, solamente era necesario efectuar los siguientes pasos:

  • Poner el cronómetro a las 12 cuando el Sol pasaba por el meridiano de referencia.
  • Cuando se quiera calcular la longitud del punto deseado, saber a qué hora pasa el Sol al mediodía por ese punto y comparar dicha hora con la del meridiano de referencia.
  • Esa diferencia de minutos, por la relación 24 h = 360º, nos da la diferencia de longitud.

Para terminar, os pongo un vídeo que explica el problema de la longitud y el aporte de Harrison a la navegación.

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La verdadera forma de la Tierra

Hola a todos. Hoy os quería profundizar un poco más en el tema que concierne a la forma de la Tierra. Si en la Antigüedad Clásica se concebía que su forma debía ser una esfera, por el concepto griego de la perfección, con el paso de los siglos y los avances en los descubrimientos científicos la idea de la esfericidad terrestre cambió hasta dar forma a una idea moderna: el Elipsoide.

A principios del siglo XVIII hubo un gran debate entre los científicos europeos acerca de la verdadera forma de la Tierra, debido a que se había desechado como simple aproximación grosera la forma esférica de la misma.   Nos encontramos dos facciones enfrentadas: por un lado los partidarios de Isaac Newton, que defendía una Tierra achatada por los polos (elipsoide oblato), y los partidarios de Descartes y Cassini, los cuales abogaban por un modelo terrestre achatado por el Ecuador (elipsoide prolato).

Forma de la Tierra propuesta por Newton (fuente: WikiMedia)

Forma de la Tierra propuesta por Cassini y Descartes (fuente: WikiMedia)

La Academia de Ciencias de París decidió terminar con esta controversia y en el año 1735 decidió enviar dos expediciones, una a Quito (Virreinato del Perú) y otra a Laponia (en el reino de Suecia) con el fin de medir la longitud de 1º de meridiano. Se eligieron estas dos ubicaciones debido a su cercanía con el Ecuador y con el Polo Norte. ¿Por qué motivo? Como se puede ver en el siguiente dibujo,en un elipsoide achatado por los Polos la longitud de un grado de meridiano en el Polo es mayor que la misma longitud en el Ecuador.

Distancias en un elipsoide oblato (Fuente: España Ilustrado)

Distancias en un elipsoide oblato (Fuente: España Ilustrado)

La expedición a Laponia fue dirigida por Pierre Louis Maupertuis, mientras que la expedición al Perú fue dirigida por Louis Godin. Para esta última expedición tuvieron que pedir permiso al rey Felipe V de España (primo del rey Luis XV de Francia) para poder realizar las mediciones en sus dominios. No solo dio su consentimiento, sino que, para ayudar a la expedición francesa, mandó a dos oficiales españoles: Jorge Juan y Antonio Ulloa.

Esta expedición tuvo que hacer frente a varios problemas, empezando porque las discrepancias entre los miembros franceses de la expedición (el propio Godin, Bouguer y La Condamine) hizo que la expedición terrestre se separara en tres grupos a través de los bosques tropicales de la región. Partiendo de Quito, la expedición realizó las mediciones mediante triangulación.

Los trabajos terminaron en 1743, aunque los trabajos que había terminado la expedición a Laponia en 1737 ya habían demostrado que la forma de la Tierra era la de un elipsoide achatado por los Polos. Con respecto al resultado de estas expediciones, Voltaire, quien no debía simpatizar mucho con el matemático Cassini, dijo que la expedición había aplastado los polos y a Cassini.

Con respecto al viaje realizado, los dos oficiales y cartógrafos españoles, en cuya biografía puede apreciarse su aportación a la ingeniería cartográfica en España, publicaron en el año 1748 su célebre “Relación histórica del viaje hecho a la América Meridional” en el cual relataron todas sus aventuras y desventuras para poder llevar a cabo el que fue, sin dudas, el mayor hito de la Geodesia en el siglo XVIII.

Cristobal Colón y el viaje a las Indias

Por todos nos es conocida la aventura emprendida por Cristobal Colón en 1492 que dio como fruto el descubrimiento de América. Según le explicó Colón a los Reyes Católicos, era posible alcanzar las Indias navegando por el Oeste. La historia es bien conocida por todos, pero ¿de dónde obtuvo el Almirante Colón tal ocurrencia?

El Almirante Cristobal Colón, cuyo proyecto tuvo como base datos erróneos sobre las dimensiones de la Tierra (fuente: WikiMedia)

Para responder a esta pregunta debemos volver a los griegos clásicos. Si en el anterior artículo veíamos como Eratóstenes consiguió ingeniárselas para poder medir el Radio de la Tierra, en este artículo os hablaré de otro eminente griego que vivió un siglo después del conocido director de la Escuela de Alejandría llamado Posidonio de Apamea.

En el siglo I a.C. Posidonio quiso mejorar las mediciones que había usado Eratóstenes para calcular las dimensiones de la Tierra y para ello usó el meridiano de la isla de Rodas y la distancia de esta ciudad con Alejandría. En vez de usar la altura del Sol como hiciera Eratóstenes usó la altura de la estrella Canope en ambas ciudades para calcular la diferencia angular entre las dos ciudades. Finalmente obtuvo como valor de la circunferencia terrestre 180.000 estadios frente a los 250.000 estadios que había calculado Eratóstenes.

Poseidonius

Poseidonius (Photo credit: Wikipedia)

Como se dijo en el artículo anterior, se demostró que los resultados de Eratóstenes se acercaban bastante a las dimensiones actuales que se tiene de la Tierra. Entonces, ¿Posidonio cometió errores en su cálculo? Existe esa posibilidad, pero debe tenerse en cuenta también que, al contrario que los patrones de medida actuales, en la antigüedad un estadio podía variar entre los 157 y 211 metros. De modo que en las dimensiones terrestres obtenidas por Eratóstenes y por Posidonio esa diferencia de tres cuartos pudo deberse al tipo de estadio escogido.

Claudio Ptolomeo, eminente matemático, geógrafo y astrónomo greco-egipcio, usó los resultados por Posidonio para la elaboración de una de sus grandes obras, Geographia, en la cual describía el mundo en su época y cuyo sistema de latitud y longitud sirvió de ejemplo a los cartógrafos durante muchos siglos. Evidentemente, al usar las dimensiones de Posidonio, el tamaño de la Tierra era bastante menor que el real.

Mapa de la Península Ibérica en la obra Geographia de Claudio Ptolomeo (fuente WikiMedia)

Y volvemos hasta el siglo XV. Colón tuvo acceso a unos informes redactados por el matemático y médico florentino Paolo dal Pozzo Toscanelli, redactado a instancias del rey Alfonso V de Portugal. Estos informes, en los que se incluía un mapa, estaban basados en los viajes de Marco Polo a la corte del Gran Khan de China. Según estos, la distancia existente entre las Islas Canarias y Cipango (Japón) sería de 2.400 millas marinas (cuando la realidad es que son 10.700)

Mapa de Toscanelli (siglo XV) en donde se aprecia al Este el continente Europeo y al Oeste el oriente asiático (fuente: WikiMedia)

De modo que, aunque se sabía las dimensiones del continente eurasiático, las dimensiones de la Tierra eran bastante inferiores a las que hoy conocemos. Con esto, no era de extrañar que Toscanelli y Colón estuviesen convencidos de que era posible llegar a las Indias por el Oeste, de modo que el almirante murió sin saber que había descubierto un continente hasta entonces desconocido. Hubo que esperar hasta el siglo XVI para ver por primera vez América en los mapas de los territorios descubiertos por Colón.

Espero que este artículo complemente la historia que ya conocemos sobre el descubrimiento de América por Cristobal Colón. Os dejo un fragmento de la serie Érase una Vez las Américas en la cual, además de hacer referencia a Toscanelli, también aparece la leyenda que cuenta que Colón escuchó de un marinero la historia de como su barco se perdió y acabaron en un continente desconocido. Que lo disfrutéis.

Eratóstenes y la medición del radio terrestre

En este primer post os hablaré de Eratóstenes de Cirene (272 – 200 a.C.) director de la biblioteca de Alejandría y considerado el padre de la Geodesia.

Eratóstenes (Fuente WikiMedia)

Algunos de vosotros os preguntaréis, ¿qué es la Geodesia? En este enlace de la wikipedia aparece una definición completa de lo que trata esta ciencia, pero para resumiros, la geodesia es la ciencia que pretende definir las dimensiones de la Tierra y, con ello, conocer nuestra  ubicación en la misma. Por mostrar un ejemplo actual, todo lo relacionado con la tecnología de posicionamiento global (GPS) se encuentra dentro de la Geodesia (en el subcampo de la Geodesia Espacial).

El motivo por el que este griego es considerado el padre de la Geodesia es porque fue la primera persona en medir el radio terrestre. Ya los griegos conocían que la Tierra tenía forma esférica, aunque desconocían sus dimensiones. Eratóstenes tuvo como objetivo la corrección del mapa creado por el griego Dicearco y dar, con los datos recogidos por las expediciones de Alejandro Magno, una base científica a la Geografía.

Para llevar a cabo la medición del radio terrestre tuvo en cuenta las siguientes premisas:

  • Constató que en el solsticio de verano (21 de junio) el Sol caía perpendicularmente en la ciudad de Siena, sus rayos alumbraban el fondo de los pozos más profundos de la ciudad y que un gnomon o estaca vertical no proyectaba ninguna sombra.
  • Por el contrario, en la ciudad de Alejandría, los gnomones proyectaban una sombra de 7º. Matemáticamente, se sabía que este ángulo era igual al que formaban los radios terrestres al pasar por ambas poblaciones.

Por lo tanto, la respuesta al radio terrestre era muy sencilla: ya que tanto Alejandría como Siena se encontraban en el mismo meridiano, se sabe que para la longitud de la circunferencia terrestre (2·pi·radio terrestre) tenemos 360º, entonces para la distancia entre las dos ciudades tendremos los 7º de diferencia. Únicamente se deja como incógnita el radio terrestre.

Fundamento geométrico de las mediciones de Eratóstenes (fuente WikiMedia)

Para medir la distancia entre las dos ciudades, y a pesar de que las leyendas hablan de como mandó a soldados o a esclavos a calcular la distancia por medio de pasos o contando las vueltas que daba un carro en dicho recorrido, la realidad es más práctica:  Eratóstenes reunió todas las mediciones de terrenos que había en su época (catastro, longitudes de los caminos de sirga, información de contadores de pasos profesionales) así como la longitud del tramo del Nilo que existe entre Alejandría y Siena.

Finalmente obtuvo que el radio terrestre era de 6250 Km, un cálculo excelente si se tiene en cuenta que el radio terrestre actual es de 6380 Km. Después de medir las dimensiones de la Tierra, dividió a la misma en 360 partes iguales, del mismo modo que hacían los Babilonios, lo cual dio como resultado la creación de los Paralelos y los Meridianos tal y como los conocemos hoy día.

Reconstrucción del Mapa de Eratóstenes realizada en el siglo XIX (fuente WikiMedia)

Por último, os dejo un fragmento de la serie COSMOS de Carl Sagan en el cual explica esta apasionante historia para determinar el radio terrestre con más detalle. Espero que lo disfrutéis.