Las proyecciones cartográficas

Gracias a Erastóstenes aprendimos las dimensiones de la Tierra y, con la Expedición Geodésica de la Academia de las Ciencias de París, pudimos saber su forma. No obstante, a la hora de representar a la Tierra sobre una superficie plana, el mapa, tenemos que echar mano de nuevas herramientas matemáticas.

Como la Tierra es una superficie esférica y nosotros normalmente trabajamos con superficies planas, ya sean éstas un papel o una pantallas de ordenador, teléfono móvil, tablet… entre otras, es necesario que representar las dimensiones de esos objetos esféricos en una superficie plana, lo que en matemáticas se conoce como proyección. Parece sencillo el planteamiento, pero la realidad matemática nos da un problema bastante gordo como podemos observar en la siguiente imagen.

Proyección de una distancia curva sobre una superficie plana.

Proyección de una distancia curva sobre una superficie plana (Fuente: Propia).

Como se puede apreciar, al tratar de proyectar (las líneas rojas) una distancia circular (verde), acorde con las que encontraríamos sobre una esfera o elipsoide, sobre una superficie plana (azul), nuestro mapa, ocurre una deformación, motivo por el cual la distancia es distinta. Y esto sucede con todas las dimensiones esféricas.

Entonces, si un mapa nos ofrece unas dimensiones erróneas de la superficie terrestre, ¿para qué nos sirve entonces? Matemáticamente es imposible no deformar la Tierra cuando se proyecta sobre un plano pero, gracias a las matemáticas, podemos aplicar una modificación que nos permita mantener alguno de los parámetros importantes que interesan conocer a la hora de leer un mapa: distancia, superficie y forma (o relación angular). Según mantengan alguno de los estos parámetros, las proyecciones se clasifican en:

  • Proyección equidistante: Si conserva las distancias.
  • Proyección equivalente: Si conserva las superficies.
  • Proyección conforme: Si conserva la forma o relación angular entre puntos.

Aunque lo mencioné en el párrafo anterior, debo dejar claro que no existe ninguna proyección cartográfica que permita conservar los tres parámetros antes mencionados debido a que es matemáticamente imposible.

Después de clasificar a las proyecciones según el parámetro que conservan, hay que clasificarlas en función de la superficie usada. Las tres superficies siguientes tienen la propiedad de que es fácil obtener un plano a partir de las mismas:

  • Proyección acimutal: Se proyecta una porción de la Tierra directamente sobre un plano tangente al globo en un punto seleccionado, obteniéndose una imagen similar a la visión de la Tierra desde un punto interior, por la que pasaría a llamarse gnomónica, o exterior, llamada ortográfica. Es la más sencilla de visualizar.

Proyección acimutal gnomónica (Fuente: Wikimedia)

Representación de los meridianos y paralelos en una proyección acimutal (Fuente: WikiMedia)

  • Proyección cónica: La proyección cónica se obtiene proyectando los elementos de la superficie esférica terrestre sobre una superficie cónica tangente, situando el vértice en el eje que une los dos polos. Dicho en otras palabras, tomamos la superficie plana (por ejemplo, un folio), lo doblamos para que tenga forma de cono y lo situamos encima de la Tierra, de modo que parece que le pongamos un gorro.

Proyección cónica (Fuente: Wikimedia)

Representación de los meridianos y paralelos en una proyección cónica (Fuente: Wikimedia)

  • Proyección cilíndrica: Las proyecciones cilíndricas usan un cilindro tangente a la esfera terrestre, colocado de tal manera que el paralelo de contacto es el Ecuador. La malla de meridianos y paralelos se dibuja proyectándolos sobre el cilindro suponiendo un foco de luz que se encuentra en el centro del globo.

Proyección cilíndrica (Fuente: Wikimedia)

Representación de los meridianos y paralelos en una proyección cilíndrica (Fuente: WikiMedia)

Normalmente una proyección suele designarse por la superficie usada, el parámetro que mantiene y el cartógrafo que creo dicha proyección (p.ej: Proyección Cónica Conforme de Lambert).

En otras publicaciones hablaré más en profundidad de estas proyecciones, junto a aquellas que más importancia han tenido a lo largo de la historia. Para completar esta publicación, os dejo un par de vídeos creados en el Instituto Geográfico Nacional en el cual explican de un modo claro y sencillo todo lo relacionado con los mapas. Que los disfrutéis.

Eratóstenes y la medición del radio terrestre

En este primer post os hablaré de Eratóstenes de Cirene (272 – 200 a.C.) director de la biblioteca de Alejandría y considerado el padre de la Geodesia.

Eratóstenes (Fuente WikiMedia)

Algunos de vosotros os preguntaréis, ¿qué es la Geodesia? En este enlace de la wikipedia aparece una definición completa de lo que trata esta ciencia, pero para resumiros, la geodesia es la ciencia que pretende definir las dimensiones de la Tierra y, con ello, conocer nuestra  ubicación en la misma. Por mostrar un ejemplo actual, todo lo relacionado con la tecnología de posicionamiento global (GPS) se encuentra dentro de la Geodesia (en el subcampo de la Geodesia Espacial).

El motivo por el que este griego es considerado el padre de la Geodesia es porque fue la primera persona en medir el radio terrestre. Ya los griegos conocían que la Tierra tenía forma esférica, aunque desconocían sus dimensiones. Eratóstenes tuvo como objetivo la corrección del mapa creado por el griego Dicearco y dar, con los datos recogidos por las expediciones de Alejandro Magno, una base científica a la Geografía.

Para llevar a cabo la medición del radio terrestre tuvo en cuenta las siguientes premisas:

  • Constató que en el solsticio de verano (21 de junio) el Sol caía perpendicularmente en la ciudad de Siena, sus rayos alumbraban el fondo de los pozos más profundos de la ciudad y que un gnomon o estaca vertical no proyectaba ninguna sombra.
  • Por el contrario, en la ciudad de Alejandría, los gnomones proyectaban una sombra de 7º. Matemáticamente, se sabía que este ángulo era igual al que formaban los radios terrestres al pasar por ambas poblaciones.

Por lo tanto, la respuesta al radio terrestre era muy sencilla: ya que tanto Alejandría como Siena se encontraban en el mismo meridiano, se sabe que para la longitud de la circunferencia terrestre (2·pi·radio terrestre) tenemos 360º, entonces para la distancia entre las dos ciudades tendremos los 7º de diferencia. Únicamente se deja como incógnita el radio terrestre.

Fundamento geométrico de las mediciones de Eratóstenes (fuente WikiMedia)

Para medir la distancia entre las dos ciudades, y a pesar de que las leyendas hablan de como mandó a soldados o a esclavos a calcular la distancia por medio de pasos o contando las vueltas que daba un carro en dicho recorrido, la realidad es más práctica:  Eratóstenes reunió todas las mediciones de terrenos que había en su época (catastro, longitudes de los caminos de sirga, información de contadores de pasos profesionales) así como la longitud del tramo del Nilo que existe entre Alejandría y Siena.

Finalmente obtuvo que el radio terrestre era de 6250 Km, un cálculo excelente si se tiene en cuenta que el radio terrestre actual es de 6380 Km. Después de medir las dimensiones de la Tierra, dividió a la misma en 360 partes iguales, del mismo modo que hacían los Babilonios, lo cual dio como resultado la creación de los Paralelos y los Meridianos tal y como los conocemos hoy día.

Reconstrucción del Mapa de Eratóstenes realizada en el siglo XIX (fuente WikiMedia)

Por último, os dejo un fragmento de la serie COSMOS de Carl Sagan en el cual explica esta apasionante historia para determinar el radio terrestre con más detalle. Espero que lo disfrutéis.